Las matrices son un importante instrumento del algebra que nos facilita trabajar con “objetos” que están definidos por varios números. Son fundamentales, por ejemplo, para resolver sistemas de ecuaciones y cualquier estudio donde estos aparezcan, como en el estudio de las figuras en tres dimensiones. En estos cortos capítulos veremos su definición, operaciones entre ellas y sus tipos.

El concepto de determinante está unido al de matriz cuadrada, tal como indica el título del primer archivo de teoría. Así como una matriz no tiene valor numérico, un determinante sí. Entre otras, una idea fundamental que lleva a su definición es que su valor es cero si una de sus filas, o columnas,  se puede obtener de las demás por medio de sumas multiplicadas por números. Podíamos decir, un poco burdamente, que nos elimina información repetida. Aquí veremos su definición, sus propiedades y ejemplos de su cálculo.

No creemos que haya que hablar de la importancia de la resolución de ecuaciones y, claramente, de los sistemas formados por ellas. En estos ejemplos veremos cómo las propiedades de las matrices y los determinantes nos resuelven sencillamente los sistemas lineales y, más importante, cómo nos permiten llegar a conclusiones en función de las características de los números que definen el sistema.

En este nivel, creemos que ya somos conscientes de la importancia del instrumento que representan los vectores. Hemos visto en física que para definir una velocidad, por ejemplo, no es suficiente con un número. Lo mismo ocurre con un sinfín de magnitudes físicas. El estudio teórico de los vectores en tres dimensiones, en nuestro caso, va a ser crucial para después utilizarlos en el siguiente tema donde, a partir de ellos, podremos deducir las ecuaciones de la recta y el plano y otras propiedades métricas del espacio Euclídeo. De todos los temas podríamos decir lo mismo, pero en este caso aconsejamos un dominio total de lo que se va a decir en ellos.

La geometría Euclídea es una de las primeras estructuras matemáticas basada en axiomas muy “simples”, excepto el quinto, lo que le da una cierta “belleza” (como todas las bellezas, para quién las pueda ver, claro).

En estos apuntes, partiendo de las propiedades de los vectores, llegamos, creemos que fácilmente, a las ecuaciones de la recta, el plano y a la medida de distancias, áreas y volúmenes. Para la resolución de este tipo de problemas, creemos que, con más razón igual que en otros, es necesario hacer un dibujo primero con la solución gráfica para saber qué tenemos que hacer. La teoría nos dirá cómo hacerlo. Estudiar muy bien la parte teórica es conveniente.

Saliéndonos un poco del tema de la presentación, decir que al ser el quinto axioma mucho menos evidente que los otros cuatro, se pensó durante mucho tiempo que se podía deducir de ellos y que no era necesario. Pasaría entonces a ser un teorema deducido de los axiomas. Como no se conseguía, a alguien se le ocurrió cambiarlo y decir lo contrario para, encontrando una incongruencia con ello, demostrar que era absolutamente necesario. Digo alguien porque no está muy clara la cuestión según los historiadores, pero eso nos da igual aquí. El caso es que, cambiando el quinto por su contrario, no se llegó a ninguna contradicción y, a partir de ahí, se obtuvieron otras geometrías no Euclidianas. Dos cosas entonces que queremos destacar. La primera es la gran agudeza de Euclides al postular los cinco axiomas. La segunda es la enorme riqueza a la que da lugar esa forma de concebir las teorías y el mundo, por medio de axiomas, suposiciones que no tienen las propiedades de “falsedad” ni de “verdad”. Son las bases necesarias del punto de partida. También son necesarias para la libertad del pensamiento pues se pueden poner en cualquier lugar, con cierta sensatez “innata” claro, pero se pueden cambiar de posición o decir exactamente lo contrario.

Relacionar características y números es algo en lo que se basan muchos conocimientos y su importancia es, por ello, fundamental.

El estudio de las funciones es una de las ramas del cálculo más utilizada por ello. En estos apuntes de segundo de bachiller partimos de lo que ya se sabe de primero de bachiller. Por ello, si algún concepto de ese curso no está claro, recomendamos recordarlo. Por la misma razón no hay un apartado dedicado a teoría básica de funciones. Si algún concepto nuevo aparece se ha hablado de ello en el apartado de “ejercicios”. Se han hecho ejemplos de estudio de funciones, de límites con los métodos propios de segundo de bachiller y problemas de optimización.

La integral es una de las más potentes operaciones de la que disponemos. Nos permite sumar muchísimos sumandos muy pequeños. Eso nos viene muy bien para estudiar “sistemas” cuyas propiedades o interacciones con el exterior varían de un sitio a otro del sistema. Si queremos calcular el volumen, por ejemplo, de un tubo irregular y de distintas secciones siempre podemos partirlo en “ronchitas” muy, muy estrechas a las que podemos considerar como discos, cilindros muy finos. Después, la integral nos sumará el volumen de cada ronchita para darnos el total.

En este apartado veremos cómo se calcula formalmente una integral y ejemplos sobre el cálculo de áreas y volúmenes. Indicar también que el cálculo de volúmenes no se suele dar, salvo algún centro.

Los números complejos o imaginarios representan el último conjunto de números y engloban a todos los anteriores, naturales, enteros, fraccionarios y reales. El nombre de imaginario se debe a su unidad, llamada i y que representa a la raíz cuadrada del número -1. De todas formas, son tan imaginarios o reales como todos los demás. En estos breves apuntes hemos intentado explicar sus operaciones básicas donde la trigonometría ocupa un papel fundamental. Aconsejamos por ello tener claro los conceptos trigonométricos antes de estudiar los complejos. Señalar, por último, que son números fundamentales para explicar, entre otras cosas, la corriente eléctrica alterna.

Nos referimos a una cónica cuando hablamos de una circunferencia, de una elipse, hipérbola o parábola. Remarcar la importancia de la circunferencia, por ejemplo, creemos que es innecesario.

Tienen en común que todas se pueden definir como la intersección de cilindros, cono o esferas con un plano. Según sea la orientación y posición del plano cortará a un cono, por ejemplo, en distintas cónicas.

También, la circunferencia, la elipse y la parábola son las trayectorias posibles de los movimientos planetarios.

En estas lecciones hablamos de cada una de ellas y sus correspondientes ecuaciones. Se acompañan con algunos ejemplos que, esperemos, clarifiquen los tipos de problemas de este nivel.

La función exponencial, junto con su prima la función logarítmica, son dos funciones matemáticas fundamentales. Muchas veces hemos oído que “tal cosa” crece a un ritmo exponencial. Por ejemplo, la sucesión “el doble del anterior”. Sea cual sea el primer número con el que empecemos, enseguida aparecen números muy grandes. El célebre pago al inventor del ajedrez, un grano de arroz en la primera casilla del tablero y el doble en las demás. Al final no había arroz suficiente en el mundo para llenar la última casilla. También, su derivada es ella misma y eso tiene consecuencias muy importantes en cálculos más avanzados y fundamentales de física. En estos apuntes hemos intentado reflejar sus características más importantes, propiedades y resolución de ecuaciones exponenciales.

La función logaritmo es otra de las funciones esenciales. Como se hablará en los apuntes, es la inversa de la exponencial, por lo que no se puede entender sin ella. Entre otras muchas aplicaciones, a nivel más práctico nos viene muy bien para despejar exponentes o bien simplificar cálculos cuando aparecen. En los apuntes hablaremos de su definición, dibujo, y propiedades. También se ven ejercicios de cálculo y resolución de ecuaciones logarítmicas. 

La función logaritmo es otra de las funciones esenciales. Como se hablará en los apuntes, es la inversa de la exponencial, por lo que no se puede entender sin ella. Entre otras muchas aplicaciones, a nivel más práctico nos viene muy bien para despejar exponentes o bien simplificar cálculos cuando aparecen. En los apuntes hablaremos de su definición, dibujo, y propiedades. También se ven ejercicios de cálculo y resolución de ecuaciones logarítmicas. 

En este tema estudiamos la resolución de las inecuaciones o desigualdades. Si queremos saber qué números hacen que una expresión sea mayor o menor que otra, tendremos que resolver una inecuación. Veremos que hay varios casos pero, creemos, que no tienen ninguna dificultad si seguimos las pautas para su resolución que se marcan en la lección.

 La trigonometría estudia las relaciones numéricas entre los elementos que definen a un triángulo. Sobre todo, hace incidencia en el estudio de los ángulos y su relación con los catetos. Supuso un gran avance pues durante mucho tiempo las relaciones eran de semejanza entre lados, en donde sí intervenían los ángulos, pero no a la hora de calcular distancias. Permite medir distancias inaccesibles, que suele ser muy normal, distancias entre planetas…Pero además da lugar a las funciones trigonométricas, que ejercen un papel fundamental en la física por si mismas. En el estudio de las ondas, por ejemplo, fenómeno sin el cuál nuestra forma de vida actual sería imposible, estas funciones juegan un papel fundamental.

Muchas magnitudes están formadas por un único número, como la altura. Sin embargo, hay otras, como la velocidad, para las que necesitamos más información.  No es lo mismo moverse hacia el norte que hacia el sur, acabaremos en puntos muy distantes. Para definir entonces esas magnitudes nos hacen falta más números, dos si estamos en el plano, tres si estamos en un volumen…Y eso es lo que pretende lo que llamamos vector, una flecha apuntada. Como instrumento, se puede aplicar a multitud de campos, pero en nuestras lecciones nos vamos a fijar en sus aplicaciones geométricas para calcular ecuaciones de rectas, distancias, ángulos…y otro gran número de cosas en la que los vectores son un instrumento fundamental.